ലസാഗു & ഉസാഘ
ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതം (ലസാഗു)
■ ഏറ്റവും ചെറിയ പൊതുഗുണിതമാണ്.
■ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾക്ക് പൊതുഘടകമായി '1' മാത്രമേയുള്ളുവെങ്കിൽ അവയുടെ ലസാഗു ആ സംഖ്യകളുടെ തന്നെ ഗുണനഫലമായിരിക്കും.
ഉദാ: 5,7 എന്നിവയുടെ ലസാഗു 5 x 7 = 35
■ ലസാഗു എപ്പോഴും തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമോ, അല്ലെങ്കിൽ അതിനേക്കാൾ കൂടുതലോ ആയിരിക്കും.
ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം (ഉസാഘ)
■ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകമാണ്.
■ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ പൊതുഘടകമായി '1' മാത്രമേയുള്ളുവെങ്കിൽ '1' ആയിരിക്കും ഉസാഘ.
■ ഉസാഘ എപ്പോഴും തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്കു തുല്യമോ അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കുറവോ ആയിരിക്കും.
ഉദാ: 8, 12 എന്നിവയുടെ ഉസാഘ = 4
രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലത്തിനു തുല്യമാണ് ആ സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘയുടെയും, ലസാഗുവിന്റെയും ഗുണനഫലം. a, b രണ്ടു സംഖ്യകളെന്നെടുത്താൽ
■ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ലസാഗു = അംശങ്ങളുടെ ലസാഗു / ഛേദങ്ങളുടെ ഉസാഘ
■ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ = അംശങ്ങളുടെ ഉസാഘ / ഛേദങ്ങളുടെ ലസാഗു
മാതൃകാചോദ്യങ്ങൾ
1. 6, 12 എന്നിവയുടെ ലസാഗു
Ans: ഗുണിതങ്ങളായ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു, അവയിൽ വലിയ സംഖ്യയായിരിക്കും.
ലസാഗു = 12
2. 3, 8 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു?
Ans. പൊതുഘടകങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ ലസാഗു അവയുടെ ഗുണനഫലം ആയിരിക്കും.
ലസാഗു = 3 x 8 = 24
3. 2⁄3, 3⁄5, 4⁄7, 9⁄13 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു എത്ര?
Ans: ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ലസാഗു = അംശങ്ങളുടെ ലസാഗു / ഛേദങ്ങളുടെ ഉസാഘ
LCM = 2 x 3 x 1 x 1 x 2 x 3 = 36
HCF = 1
2, 3, 4, 9 ന്റെ ലസാഗു / 3, 5, 7, 13 ന്റെ ഉസാഘ = 36/1 = 36
4. ആദ്യത്തെ 5 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ LCM എന്ത് ?
Ans: അഭാജ്യ സംഖ്യകളിൽ ഒന്നും ആ സംഖ്യയും ഒഴികെ പൊതുവായി ഘടകങ്ങളില്ല. അതായത് ആദ്യത്തെ 5 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു ആ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ആയിരിക്കും.
അതായത് ആദ്യത്തെ 5 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ
LCM = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 210 x 11 = 2310
5. 4.5, 0.9, 1.8 ഇവയുടെ ലസാഗു കാണുക?
Ans: ദശാംശ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു കാണുന്നതിന് തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ദശാംശസ്ഥാനം എത്രയെന്ന് കണ്ടെത്തി അതിന് തുല്യമായ 10ന്റെ കൃതി കൊണ്ട് എല്ലാ സംഖ്യകളെയും ഗുണിച്ച് പൂർണസംഖ്യയാക്കി ലസാഗു കാണുക. അതിന് ശേഷം ഗുണിക്കാനുപയോഗിച്ച 10ന്റെ കൃതിയായ സംഖ്യ കൊണ്ട് ലസാഗുവിനെ ഹരിക്കുക.
4.5, 0.9, 1.8 നെ 10 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. 4.5, 0.9, 1.8 ന്റെ ലസാഗു
3 x 3 x 2 x 5 = 90
4.5, 0.9, 1.8 ന്റെ ലസാഗു = 90/10 = 9
6. 22 x 32x 42, 22 x 33 x 42, 24 x 35 x 41 ഇവയുടെ ലസാഗു കാണുക?
Ans: ഘടകങ്ങളിൽ ഓരോ സംഖ്യയുടെയും ഏറ്റവും വലിയ കൃതി വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമാണ് ലസാഗു.
ഈ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു = 24 x 35 x 42
7. 4, 7, 9 സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ കാണുക?
Ans: ഉസാഘ = 1
പൊതുഘടകം ഇല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ 1 ആയിരിക്കും.
8. 32x 22 x 73, 34 x 22 x 74, 35 x 24 x 72 ഇവയുടെ ഉസാഘ കാണുക?
സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതിരൂപം = 32 x 22 x 72
ഘടകങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ കൃതി വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ആണ് ഉസാഘ.
9. 2⁄3, 4⁄10, 6⁄15 എന്നീ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ എന്ത്?
Ans: ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ = അംശങ്ങളുടെ ഉസാഘ / ഛേദങ്ങളുടെ ലസാഗു
2, 4, 6 ന്റെ ഉസാഘ / 3, 10, 15 ന്റെ ലസാഗു = 2⁄30
10. 8, 12, 24 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 3 ശിഷ്ടം വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക?
Ans: 8, 12, 24 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ L.C.M കണ്ട ശേഷം ശിഷ്ടം കൂട്ടുക.
ലസാഗു = 2 x 2 x 2 x 3 = 24
സംഖ്യ = 24 + 3 = 27
11. 16, 20, 24 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ പൂർണ്ണ വർഗ സംഖ്യ ഏത്?
Ans: 16, 20, 24 ന്റെ ലസാഗു
2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 3 = 240
പൂർണ്ണ വർഗ സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ ഓരോ സംഖ്യയേയും ഒരു ജോഡി വീതം ആക്കണം.
= 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 3 x 3
= 240 x 5 x 3
= 3600
12. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു 12 ഉം ഉസാഘ 8 ഉം അതിൽ ഒരു സംഖ്യ 24 ഉം ആയാൽ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ എത്ര?
Ans: സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം = സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു x ഉസാഘ
രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യ 'X' ആയാൽ,
24 x X = 12 x 8
X = 96/24 = 4
13. 21, 36, 41 എന്നീ സംഖ്യകളെ ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 1 വരുന്ന ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ ഏത്?
Ans: 21, 36, 41 എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ച ശേഷം ഉസാഘ കാണുക.
ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ = 5
14. 6, 9, 10, 18 എന്നിവ കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കുമ്പോൾ 5 ശിഷ്ടം വരുന്ന ഏറ്റവും വലിയ മൂന്നക്ക സംഖ്യ ഏത്?
Ans: 6, 9, 10, 18 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു കണ്ടശേഷം ഏറ്റവും വലിയ മൂന്നാക്കസംഖ്യയായ 999 നെ ലസാഗു കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഹരിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം 999 ൽ നിന്ന് കുറച്ച് 5 കൂട്ടുക.
6, 9, 10, 18 ന്റെ ലസാഗു = 2 x 5 x 3 x 3 = 90
ഏറ്റവും വലിയ മൂന്നക്ക സംഖ്യ = 999
സംഖ്യ = 999 - 9 + 5 = 995
15. മൂന്ന് ബൾബുകൾ അവ യഥാക്രമം 12, 15, 20 മിനിറ്റുകളിൽ കത്തും. അവയെല്ലാം ഒരുമിച്ച് 12 am ന് കത്തിയെങ്കിൽ വീണ്ടും എപ്പോൾ അവ ഒരുമിച്ച് കത്തും ?
Ans : ഇത്തരത്തിലുള്ള ചോദ്യങ്ങൾക്ക് തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു കാണുക.
12, 15, 20 എന്നിവയുടെ ലസാഗു = 60 മിനുട്ട് = 1 മണിക്കൂർ
12 am ന് ശേഷം ബൾബുകൾ ഒരുമിച്ച് കത്തുന്ന സമയം = 12 am + 1 മണിക്കൂർ = 1.00 pm
16. 200നും 600നും ഇടയ്ക്ക് 4, 5, 6 ഇവ മൂന്നും കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന എത്ര സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്?
Ans: 4, 5, 6 ന്റെ ലസാഗു = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
200നും 600നും ഇടയ്ക്കുള്ള 60ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ = 240, 300, 360, 420, 480, 540
സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = 6
17. 30, 35, 20 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു?
Ans: 420
18. ആദ്യത്തെ 4 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു കണ്ടെത്തുക?
Ans: 210
19. 2⁄3, 3⁄5, 4⁄7, 9⁄13 ലസാഗു എത്ര?
Ans: 36
20. 4⁄5, 3⁄10, 7⁄15 ന്റെ ഉസാഘ എത്ര?
Ans: 1⁄30
21. 52x 32 x 42, 52 x 33 x 42, 54 x 35 x 41 ന്റെ ലസാഗു എത്ര?
Ans: 54 x 35 x 42
22. 3, 2.7, 0.09 ന്റെ ലസാഗു എത്ര?
Ans: 27
23. രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു 12 ഉം ഉസാഘ 8 ഉം ആണ്. അവയിൽ ഒരു സംഖ്യ 4 ആയാൽ അടുത്തസംഖ്യ?
Ans: 24
24. 197, 269 എന്നീ സംഖ്യകളെ ഹരിക്കുമ്പോൾ ശിഷ്ടം 5 വരുന്ന ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ ഏത്?
Ans: 24
25. 12, 16, 24 എന്നീ നീളമുള്ള തടികൾ തുല്യനീളമുള്ള തടികളായി മുറിക്കണം അതിന് സാധ്യമായ ഏറ്റവും കൂടിയ നീളം?
Ans: 4
26. 2, 3, 4 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന എത്ര സംഖ്യകൾ 300 നും 600 നും ഇടയിലുണ്ട് ?
Ans: 24
27. മൂന്നു സംഖ്യകളുടെ ലസാഗു 120 ആണ്. താഴെ തന്നിരിക്കുന്നവയിൽ സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ ആകാൻ സാധ്യമല്ലാത്ത ഏത്?
(a) 8
(b) 12
(c) 24
(d) 35
Ans: 35
28. മൂന്നു സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധം 1:2:3 ഉം അവയുടെ ഉസാഘ 12 ഉം ആയാൽ സംഖ്യകളേവ?
Ans: 12, 24, 36
29. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് പൂർണമായും ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയേത്?
Ans: 840
30. ഒരു സംഖ്യയെ 12, 15, 20 ഇവയിൽ ഏതു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലും 4 ശിഷ്ടം കിട്ടുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ ഏത്?
Ans: 64
31. 12, 15, 18, 27 എന്നിവ കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ സാധിക്കുന്ന ഏറ്റവും വലിയ നാലക്ക സംഖ്യയേത് ?
Ans: 9720