സംഖ്യകളും അടിസ്ഥാന ക്രിയകളും

 സംഖ്യകളും അടിസ്ഥാന ക്രിയകളും

ചതുഷ്‌ക്രിയകൾ നിര്‍വഹിക്കേണ്ട ക്രമം സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഗണിത നിയമം BODMAS നിയമം എന്നാണ് അതറിയപ്പെടുന്നത്. Brackets, off, Division, Multiplication, Addition, Subtraction എന്നതിന്റെ ചുരുക്കമാണ് BODMAS. അതായത് ഒന്നിലധികം ക്രിയകൾ വരുമ്പോൾ അവ ചുവടെ കൊടുത്ത ക്രമത്തില്‍ നിര്‍വഹിക്കണം.

- ആദ്യം ബ്രാക്കറ്റിനകത്തെ ക്രിയകൾ ചെയ്യുക

- പിന്നീട്‌ ഹരണം, ഗുണനം ഇവ തന്നിരിക്കുന്ന ക്രമത്തില്‍ ചെയ്യുക.

- അവസാനമായി സങ്കലനം, വ്യവകലനം ഇവ തന്നിരിക്കുന്ന ക്രമത്തില്‍ ചെയ്യുക.

ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണം നോക്കുക.

6 + 8 x (4 + 3) ÷ 2 x (7 - 3) = 6 + 8 x 7 ÷ 2 x 4 

= 6 + 56 ÷ 2 x 4 

= 6 + 28 x 4 

= 6 + 112 = 118

■ ഒരു സംഖ്യയെ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകൊണ്ടു ഗുണിച്ചുകിട്ടുന്നവയാണ്‌ അതിന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ. 5൯െറ ഗുണിതങ്ങളാണ്‌ 5, 10, 15 തുടങ്ങിയവ.

■ ഒരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ ഘടകങ്ങൾ കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. 6ന്റെ ഘടകങ്ങളാണ്‌ 1, 2, 3, 6 എന്നിവ. 5൯െറ ഘടകങ്ങൾ 1, 5 എന്നിവയാണ്‌.

■ രണ്ട്‌ ഘടകങ്ങൾ മാത്രമുള്ള സംഖ്യകൾ അതായത്‌ ഒന്നും അതേ സംഖ്യയും മാത്രം ഘടകങ്ങളായിവരുന്ന സംഖ്യകളാണ്‌ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ (Prime Nos.). 2, 3, 5, 7, 11 തുടങ്ങിയവ അഭാജ്യസംഖ്യകളാണ്‌. അഭാജ്യങ്ങൾ അല്ലാത്ത സംഖ്യകളെ ഭാജ്യസംഖ്യകൾ (Composite Nos.) എന്നു വിളിക്കുന്നു. 1 ഭാജ്യമോ അഭാജ്യമോ അല്ല.

■ രണ്ടുസംഖ്യകളുടെ പൊതു ഗുണിതങ്ങളില്‍ ഏറ്റവും ചെറുതിനെ അതിന്റെ ലസാഗു (ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതം) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി 9, 6 എന്നീ സംഖ്യകൾ എടുത്താല്‍

9ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ:

9 18 27 36 45 54

6൯െറ ഗുണിതങ്ങൾ:

6 12 18 24 30 36

9ന്റെയും 6ന്റെയും പൊതുഗുണിതങ്ങൾ 18, 36 തുടങ്ങിയവയാണ് അവയില്‍ ഏറ്റവും ചെറുത്‌ 18. അതിനാല്‍ 9ന്റെയും 6ന്റെയും ലസാഗു 18 (LCM).

■ രണ്ടുസംഖ്യകളുടെ പൊതുഘടകങ്ങളില്‍ ഏറ്റവും വലുതാണ്‌ അവയുടെ ഉസാഘ (ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം)(HCF).

12 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ : 1, 2, 3, 4, 6, 12

18 ന്റെ ഘടകങ്ങൾ : 1, 2, 3, 6, 9, 18

പൊതുഘടകങ്ങൾ : 1, 2, 3, 6

ഏറ്റവും വലിയ പൊതുഘടകം 6 ആണ്‌. അതിനാല്‍ 12൯െറയും 18൯െറയും ഉസാഘ 6.

■ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലവും അവയുടെ ലസാഗുവിന്റെയും ഉസാഘയുടെയും ഗുണനഫലവും തുല്യമായിരിക്കും.

■ പൊതു ഘടകങ്ങൾ ഇല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ 1 ആയിരിക്കും.

■ ഒരു സംഖ്യയെ 2, 3, 4, 6, 8 തുടങ്ങിയ ചില സംഖ്യകൾ കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാമോ എന്നു പരിശോധിക്കാന്‍ ചില എളുപ്പവഴികൾ ഉണ്ട്‌.

- ഇരട്ടസംഖ്യകളെ മാത്രമേ 2 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുകയുള്ളൂ.

- 5 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകൾ 0, 5 എന്നീ അക്കങ്ങളില്‍ അവസാനിക്കും.

- ഒരു സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക 3ന്റെ ഗുണിതമാണെങ്കില്‍ ആ സംഖ്യയെ 3കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.

- ഒരു സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങളുടെ തുക 9ന്റെ ഗുണിതമാണെങ്കില്‍ ആ സംഖ്യയെ 9കൊണ്ടു നിശ്രേഷം ഹരിക്കാം.

- ഒരു സംഖ്യയിലെ അവസാനത്തെ രണ്ടക്കങ്ങൾ ചേര്‍ന്നുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ 4൯െറ ഗുണിതമാണെങ്കില്‍ ആ സംഘ്യയെ 4 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.

- ഒരു സംഖ്യയിലെ അവസാനത്തെ മൂന്നക്കങ്ങൾ ചേര്‍ന്നുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ 8 ന്റെ ഗുണിതമാണെങ്കില്‍ ആ സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ട്‌ നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.

■ ഒരു കാര്യം നടക്കാന്‍ 'a' രീതികളും മറ്റൊരു കാര്യം നടക്കാന്‍ 'b' രീതികളും ഉണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. എങ്കില്‍ ഒന്നിനു തുടര്‍ച്ചയായി മറ്റേതുംകൂടി നടക്കാന്‍ axb രീതികൾ ഉണ്ടായിരിക്കും, ഉദാഹരണമായി കോഴിക്കോട്‌ നിന്നു തൃശൂര്‍ക്കുപോവാന്‍ 4 വ്യത്യസ്ത വഴികൾ ഉണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. തൃശ്ശൂരിൽ നിന്ന്‌ എറണാകുളത്തേക്ക്‌ 4 വ്യത്യസ്തവഴികളും.

എങ്കില്‍ കോഴിക്കോട്‌ നിന്നു തൃശ്ശൂര്‍ വഴി എറണാകുളത്തേക്കു പോവാന്‍ 3x4 =12 വൃത്യസ്ത വഴികൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.

■ ഒരു സംഖ്യയെ അതേ സംഖ്യകൊണ്ടു ഗുണിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകളാണ്‌ പൂര്‍ണവര്‍ഗങ്ങൾ. 1, 4, 9, 16, 25 തുടങ്ങിയവ പൂര്‍ണവര്‍ഗങ്ങൾ ആണ്‌.

രണ്ടക്ക സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗം കാണാനുള്ള എളുപ്പവഴികൾ

1. ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്ത്‌ 5 വരുന്നവയുടെ വര്‍ഗം

35² = 1225

ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്ത്‌ 5 ആണെങ്കില്‍ അതിന്റെ വര്‍ഗം അവസാനിക്കുന്നത്‌ 25 ല്‍ ആയിരിക്കും.

തുടര്‍ന്ന്‌ 3 x (3 + 1) = 3 x 4 = 12

35² = 1225

പത്താം സ്ഥാനത്തെ അക്കവും ഒന്നും കൂട്ടിയത്‌ ഗുണിക്കുക

55² = 3025

5² = 25, 5 x (5 + 1) = 5 x 6 = 30

55² = 3025

85² = 7225

(8 x 9 = 72)

95² = 9025

2. ഏത് രണ്ടക്ക സംഖ്യയുടെയും വർഗം

78²

8² = 64. ഇതിൽ 4 എഴുതുക '6' മാറ്റിവെക്കുക

7 x 8 = 56. ഇതിന്റെ ഇരട്ടി 112. മാറ്റിവെച്ചു കൂട്ടുക.

112 + 6 = 118

4 ന്റെ ഇടതുവശം 8 എഴുതുക 84. 11 മാറ്റിവെക്കുക.

9² = 49 + മാറ്റിവെച്ച 11 = 60

78² = 6084

47² കാണുക. 7² = 49. 9 എഴുതി 4 മാറ്റിവെക്കുക.

4 x 7 = 28, 28 ന്റെ ഇരട്ടി = 56. 56 + 4 = 60.

9ന്റെ ഇടതുവശം 0 എഴുതുക 09. 6 മാറ്റിവെക്കുക

4²= 16.

16 + 6 = 22

47²= 2209

മാതൃകാ ചോദ്യങ്ങൾ

1. 5 + 25 ÷ 5 x 2 - 3 = ?

Ans: ആദ്യം ഹരണ, ഗുണന, ക്രിയകൾ ചെയ്യണം.

5 + 25⁄5 x 2 - 3 = 5 + 10 - 3 = 12

2. 12 + 3 (8 + 4) ÷ 6 - 10 = ?

Ans: ആദ്യം ബ്രാക്കറ്റിനകത്തുള്ളത് ചെയ്യുക.

12 + 3 x 12 ÷ 6 - 10 = 12 + 3 x 2 - 10 = 12 + 6 - 10 = 8

3. 4 x (3 + 5) നു തുല്യമായത് ഏത്?

Ans: 4 x (3 + 5) = 4 x 3 + 4 x 5

4. ചുവടെ കൊടുത്തവയിൽ ഒറ്റപ്പെട്ടത് ഏത്?

(a) 1 ÷ 9 + 9 ÷  1 

(b) 1 x 9 ÷ 9 x 1

(c) 1 - 9 + 1 x 9

(d) 1 + 9 ÷ 9 - 1

Ans : 1 ÷ 9 + 9 ÷ 1 = 1/9 + 9

1 x 9 ÷ 9 x 1 = 1

1 - 9 + 1 x 9 = 1

1 + 9 ÷ 9 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1

5. ഒരു സംഖ്യയെ 10 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ 8 ശിഷ്ടം കിട്ടുന്നു. അതെ സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടമെത്ര?

Ans: 10 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ 8 ശിഷ്ടം വരുന്നു. 5 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിലെ ഒരു 5 കൂടി പൂർണമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നു. അതിനാൽ ശിഷ്ടം 3.

6. ഏതു സംഖ്യയെ 18 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ 12 ഹരണഫലവും 7 ശിഷ്ടവും കിട്ടും?

Ans: സംഖ്യ = 12 x 18 + 7 = 223

7. (3 + 8) x 4 - 2 x (4 + 7) = ?

Ans: (3 + 8) x 4 - 2 x (4 + 7) = 11 x 4 - 2 x 11

= 44 - 22 = 22

8. 40720 നെ 186 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം ഏതായിരിക്കും?

(a) 193

(b) 186

(c) 188

(d) 172

Ans: ശിഷ്ടം നേക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കുമല്ലോ. (d)

9. 28 x 32 + 40 = 936 ആയാൽ 936 നെ 32 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടമെത്ര ?

Ans: ഇരുപത്തിയെട്ടു 32 കളോട് 40 കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതാണല്ലോ 936. അതിനാൽ 936നെ 32 കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ 40നെ 32കൊണ്ടു ഹരിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടംതന്നെ കിട്ടും. 8

10. ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയിൽ 3കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യയേത്?

(a) 31427352

(b) 81294672

(c) 9421342

(d) 7423581

Ans: 9421342ന്റെ അക്കങ്ങളുടെ തുക = 25, മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമല്ല. (c)

11. ഒരു പെട്ടിയിൽ  12 പെൻസിലുകൾ ഉണ്ട്. അത്തരം കുറേ പെട്ടികൾ ഒരു ഗോഡൗണിൽ സൂക്ഷിച്ചിരിക്കുന്നു. ഗോഡൗണിലെ പെൻസിലുകളുടെ ആകെ എണ്ണമാവാത്തത് ചുവടെ കൊടുത്തവയിൽ ഏതുസംഖ്യയാണ്.

(a) 4812

(b) 7614

(c) 6492

(d) 8304

Ans: ആകെ എണ്ണം 12ന്റെ ഗുണിതമാവണം. അതായത് 3ന്റെയും 4ന്റെയും ഗുണിതമാവണം. എല്ലാ സംഖ്യകളും 3ന്റെ ഗുണിതമാണ്. എന്നാൽ 7614 നാലിന്റെ ഗുണിതമല്ല. (b)

12. 34*2851 എന്നസംഖ്യയെ കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാമെങ്കിൽ *ന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കമേത്?

Ans: അക്കങ്ങളുടെ തുക 9ന്റെ ഗുണിതമാവണം.

3 + 4 + * + 2 + 8 + 5 + 1 = 23 + *

ഉത്തരം 9ന്റെ ഗുണിതമാവുംവിധം *ന് കൊടുക്കാവുന്ന വില = 4.

13. 8427187 നെ 3 കൊണ്ടുഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടമെത്ര ?

Ans : അക്കങ്ങളുടെ തുക = 8 + 4 + 2 + 7 + 1 + 8 + 7 = 37

തൊട്ടുതാഴെയുള്ള 3 ന്റെ ഗണിതം = 36

37 - 36 = 1

ശിഷ്ടം = 1

14. 2842043 നെ 4 കൊണ്ടുഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടമെത്ര ?

Ans: അവസാനത്തെ രണ്ടക്കങ്ങൾ ചേർന്നുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ = 43

43 നെ 4 കൊണ്ടുഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം 3

15. 38429025 നെ 8 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടമെത്ര?

Ans: അവസാനത്തെ മൂന്നക്കങ്ങൾ ചേർന്നുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ = 25

25നെ 8 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം = 1

16. 3 x 5 x 7 x 11 x 13 ക്രിയ ചെയ്തുകിട്ടുന്ന സംഖ്യയെ ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നതിൽ ഏതുസംഖ്യകൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ കഴിയും.

Ans: 3, 5, 7, 11, 13 ഇവയിൽ രണ്ടോ അതിലധികമോ സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകൊണ്ട് മാത്രമേ 3 x 5 x 7 x 11 x 13 നെ ഹരിക്കാൻ കഴിയുകയുള്ളു. 

21 = 3 x 7

21 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാം.

17. ചുവടെ കൊടുത്തവയിൽ കൂട്ടത്തിൽ പെടാത്തത് ഏത്?

3, 5, 7, 9, 11, 13, 17

Ans: 9 ഒഴികെ ബാക്കിയെല്ലാം അഭാജ്യസംഖ്യകൾ

18. ചുവടെ കൊടുത്തവയിൽ പൂർണവർഗമാവാൻ സാധ്യതയില്ലാത്ത സംഖ്യയേത്?

(a) 17424

(b) 22201

(c) 18498

(d) 23409

Ans: 18498. പൂർണവർഗങ്ങൾ 8ൽ അവസാനിക്കില്ല.

19. ചുവടെ കൊടുത്തവയിൽ അഭാജ്യസംഖ്യ ഏത്?

(a) 49

(b) 69

(c) 39

(d) 59

Ans: 59

20. 8426 - ഈ സംഖ്യയിൽ ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്ത് ഏത് അക്കം ചേർത്താൽ അത് മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമാകും?

Ans: 8 + 4 + 2 + 6 + _ = 20 + 4 (24 മൂന്നിന്റെ ഗണിതം)

21. -3 ന്റെ ഗുണനവിപരീതം

Ans : -3 x -1⁄3 = 1

22. രഘു ഒരു സംഖ്യയെ 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനു പകരം 12 കൊണ്ട് ഹരിച്ചപ്പോൾ ഹരണഫലം 13 എന്നും ശിഷ്ടം 9 എന്നും കിട്ടി. എങ്കിൽ ശരിയായ ഹരണഫലം എന്ത്?

Ans: ഹാര്യം (Divident) = ഹാരകം (Divisor) x ഹരണഫലം (Quotient) + ശിഷ്ടം (Remainder)

സംഖ്യ = 12 x 13 + 9 = 156 + 9 = 165

ശരിയായ ഹരണഫലം = 165 ÷ 15 = 11

23. -85 ൽ നിന്നും 17 കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ഏത്?

Ans: -85 - 17 = - 102

24. ഒരു സംഖ്യ 48 ൽ നിന്ന് എത്ര കൂടുതലാണോ അത്ര കുറവാണ് 124 ൽ നിന്ന്. എന്നാൽ സംഖ്യ എത്രയാണ്?

സംഖ്യ x ആയാൽ, x - 48 = 124 - x

2x = 124 + 48 = 172

x = 172 ÷ 2 = 86

25. 5623 എന്ന സംഖ്യയിൽ 5 ന്റെ സ്ഥാനവിലയും മുഖവിലയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കാണുക?

Ans: 5 ന്റെ സ്ഥാനവില = 5000

5 ന്റെ മുഖവില = 5

വ്യത്യാസം = 4995

26. 4, 0, 7, 8, 5, 6 ഇവ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാവുന്ന ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയും ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കാണുക?

Ans: ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ = 876540

ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ = 405678

ഇവയുടെ വ്യത്യാസം = 470862

27. 50 നും 70 നും ഇടയിലുള്ള അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ തുക എന്ത്?

Ans: 50 നും 70 നും ഇടയിലുള്ള അഭാജ്യസംഖ്യകൾ

53, 59, 61, 67

ഇവയുടെ തുക = 53 + 59 + 61 + 67 = 240

28. 46 നെ റോമൻ സംഖ്യ രൂപത്തിൽ എഴുതുക?

Ans: XL = 40, VI = 6

46 = XLVI

29. (111010)₂ എന്ന ബൈനറി സംഖ്യയുടെ തത്തുല്യ ഡെസിമൽ സംഖ്യ ഏത്?

Ans: 111010 എന്ന സംഖ്യയിൽ എത്ര സ്ഥാനങ്ങളുണ്ടോ അത്രയും 2 ന്റെ കൃതി എഴുതി ഗുണിച്ച് കൂട്ടുക.

(111010)₂= 1 x 2⁵ + 1 x 2⁴ + 1 x 2³ + 0 x 2²+ 1 x 2¹ + 0 x 2⁰ = 58

30. 45 എന്ന ഡീനറി സംഖ്യയെ ബൈനറി സംഖ്യയാക്കി മാറ്റുക?

Ans: 45 = (101101)₂

31. ഒരു കുട്ടി ഒരു സംഖ്യയെ 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന് പകരം തെറ്റി 21 കൊണ്ട് ഹരിച്ചപ്പോൾ ഹരണഫലം 37 ഉം ശിഷ്ടം 3 ഉം കിട്ടി. എങ്കിൽ ശരിയായ ഉത്തരം എന്ത്?

Ans: 65

32. -3⁄4 ന്റെ ഗുണനവിപരീതം എത്ര?

Ans: -4⁄3

33. തന്നിട്ടുള്ളവയിൽ 9 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യ ഏത്?

(a) 102310

(b) 102114

(c) 203020

(d) 121013

Ans: (b) 102114

34. 47325*0 എന്ന സംഖ്യയെ 4 കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാമെങ്കിൽ *ന് നൽകാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ വില?

Ans: 0

35. -280 കിട്ടാൻ -450 നോട് ഏത് സംഖ്യ കൂട്ടണം?

Ans: 170

36. 273548 എന്ന സംഖ്യയിൽ 5 ന്റെ സ്ഥാനവിലയും മുഖവിലയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്ത്?

Ans: 495

37. XCIII എന്തിനു തുല്യമാണ്?

Ans: 93

38. 100നെ ബൈനറി സംഖ്യയാക്കിയാലെത്ര?

Ans: (1100100)₂

39. 1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള ഭാജ്യസംഖ്യകളെത്ര?

Ans: 5

40. 2074 എന്ന സംഖ്യയിൽ 0 ന്റെ സ്ഥാനവില എന്ത്? 

Ans: 0